Gradient Descent

Review

前面预测宝可梦cp值的例子里，已经初步介绍了Gradient Descent的用法：

In step 3,​ we have to solve the following optimization problem:

${\theta }^{\ast }=\arg \underset{\theta }{min}L(\theta )$

L : loss function $\theta :$ parameters(上标表示第几组参数，下标表示这组参数中的第几个参数)

假设$\theta$是参数的集合：Suppose that $\theta$ has two variables $\{{\theta }_1,{\theta }_2\}$

随机选取一组起始的参数：Randomly start at ${\theta }^0=\left[\begin{array}{l}{\theta }_1^0\\ {\theta }_2^0\end{array}\right]$

计算$\theta$处的梯度gradient：$\mathrm{\nabla }L(\theta )=\left[\begin{array}{l}\partial L\left({\theta }_1\right)/\partial {\theta }_1\\ \partial L\left({\theta }_2\right)/\partial {\theta }_2\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}{\theta }_1^1\\ {\theta }_2^1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{\theta }_1^0\\ {\theta }_2^0\end{array}\right]-\eta \left[\begin{array}{l}\partial L\left({\theta }_1^0\right)/\partial {\theta }_1\\ \partial L\left({\theta }_2^0\right)/\partial {\theta }_2\end{array}\right]\Rightarrow {\theta }^1={\theta }^0-\eta \mathrm{\nabla }L\left({\theta }^0\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\theta }_1^2\\ {\theta }_2^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\theta }_1^1\\ {\theta }_2^1\end{array}\right]-\eta \left[\begin{array}{c}\partial L\left({\theta }_1^1\right)/\partial {\theta }_1\\ \partial L\left({\theta }_2^1\right)/\partial {\theta }_2\end{array}\right]\Rightarrow {\theta }^2={\theta }^1-\eta \mathrm{\nabla }L\left({\theta }^1\right)$

下图是将gradient descent在投影到二维坐标系中可视化的样子，图上的每一个点都是$({\theta }_1,{\theta }_2,loss)$在该平面的投影

红色箭头是指在$({\theta }_1,{\theta }_2)$这点的梯度，梯度方向即箭头方向(从低处指向高处)，梯度大小即箭头长度(表示在${\theta }^i$点处最陡的那条切线的导数大小，该方向也是梯度上升最快的方向)

蓝色曲线代表实际情况下参数${\theta }_1$和${\theta }_2$的更新过程图，每次更新沿着蓝色箭头方向loss会减小，蓝色箭头方向与红色箭头方向刚好相反，代表着梯度下降的方向

因此，==在整个gradient descent的过程中，梯度不一定是递减的(红色箭头的长度可以长短不一)，但是沿着梯度下降的方向，函数值loss一定是递减的，且当gradient=0时，loss下降到了局部最小值，总结：梯度下降法指的是函数值loss随梯度下降的方向减小==

初始随机在三维坐标系中选取一个点，这个三维坐标系的三个变量分别为$({\theta }_1,{\theta }_2,loss)$，我们的目标是找到最小的那个loss也就是三维坐标系中高度最低的那个点，而gradient梯度可以理解为高度上升最快的那个方向，它的反方向就是梯度下降最快的那个方向，于是每次update沿着梯度反方向，update的步长由梯度大小和learning rate共同决定，当某次update完成后，该点的gradient=0，说明到达了局部最小值

下面是关于gradient descent的一点思考：

Learning rate存在的问题

gradient descent过程中，影响结果的一个很关键的因素就是learning rate的大小

• 如果learning rate刚刚好，就可以像下图中红色线段一样顺利地到达到loss的最小值
• 如果learning rate太小的话，像下图中的蓝色线段，虽然最后能够走到local minimal的地方，但是它可能会走得非常慢，以至于你无法接受
• 如果learning rate太大，像下图中的绿色线段，它的步伐太大了，它永远没有办法走到特别低的地方，可能永远在这个“山谷”的口上振荡而无法走下去
• 如果learning rate非常大，就会像下图中的黄色线段，一瞬间就飞出去了，结果会造成update参数以后，loss反而会越来越大(这一点在上次的demo中有体会到，当lr过大的时候，每次更新loss反而会变大)

当参数有很多个的时候(>3)，其实我们很难做到将loss随每个参数的变化可视化出来(因为最多只能可视化出三维的图像，也就只能可视化三维参数)，但是我们可以把update的次数作为唯一的一个参数，将loss随着update的增加而变化的趋势给可视化出来(上图右半部分)

所以做gradient descent一个很重要的事情是，==要把不同的learning rate下，loss随update次数的变化曲线给可视化出来==，它可以提醒你该如何调整当前的learning rate的大小，直到出现稳定下降的曲线

Adaptive Learning rates

显然这样手动地去调整learning rates很麻烦，因此我们需要有一些自动调整learning rates的方法

最基本、最简单的大原则是：learning rate通常是随着参数的update越来越小的

因为在起始点的时候，通常是离最低点是比较远的，这时候步伐就要跨大一点；而经过几次update以后，会比较靠近目标，这时候就应该减小learning rate，让它能够收敛在最低点的地方

举例：假设到了第t次update，此时${\eta }^t=\eta /\sqrt{t+1}$

这种方法使所有参数以同样的方式同样的learning rate进行update，而最好的状况是每个参数都给他不同的learning rate去update

Adagrad

Divide the learning rate of each parameter by the root mean square(方均根) of its previous derivatives

Adagrad就是将不同参数的learning rate分开考虑的一种算法(adagrad算法update到后面速度会越来越慢，当然这只是adaptive算法中最简单的一种)

这里的w是function中的某个参数，t表示第t次update，$g^t$表示Loss对w的偏微分，而${\sigma }^t$是之前所有Loss对w偏微分的方均根(根号下的平方均值)，这个值对每一个参数来说都是不一样的

$$\begin{array}{rl}& Adagrad\\ & w^1=w^0-\frac{{\eta }^0}{{\sigma }^0}\cdot g^0{\sigma }^0=\sqrt{(g^0{)}^2}\\ & w^2=w^1-\frac{{\eta }^1}{{\sigma }^1}\cdot g^1{\sigma }^1=\sqrt{\frac{1}{2}[(g^0{)}^2+(g^1{)}^2]}\\ & w^3=w^2-\frac{\eta 2}{{\sigma }^2}\cdot g^2{\sigma }^2=\sqrt{\frac{1}{3}[(g^0{)}^2+(g^1{)}^2+(g^2{)}^2]}\\ & ...\\ & w^{t+1}=w^t-\frac{{\eta }^t}{{\sigma }^t}\cdot g^t{\sigma }^t=\sqrt{\frac{1}{1+t}\sum _{i=0}^t(g^i{)}^2}\end{array}$$

由于${\eta }^t$和${\sigma }^t$中都有一个$\sqrt{\frac{1}{1+t}}$的因子，两者相消，即可得到adagrad的最终表达式：

$w^{t+1}=w^t-\frac{\eta }{\sum _{i=0}^t(g^i{)}^2}\cdot g^t$

Adagrad的contradiction解释

Adagrad的表达式$w^{t+1}=w^t-\frac{\eta }{\sum _{i=0}^t(g^i{)}^2}\cdot g^t$里面有一件很矛盾的事情：

我们在做gradient descent的时候，希望的是当梯度值即微分值$g^t$越大的时候(此时斜率越大，还没有接近最低点)更新的步伐要更大一些，但是Adagrad的表达式中，分母表示梯度越大步伐越小，分子却表示梯度越大步伐越大，两者似乎相互矛盾

在一些paper里是这样解释的：Adagrad要考虑的是，这个gradient有多surprise，即反差有多大，假设t=4的时候$g^4$与前面的gradient反差特别大，那么$g^t$与$\sqrt{\frac{1}{t+1}\sum _{i=0}^t(g^i{)}^2}$之间的大小反差就会比较大，它们的商就会把这一反差效果体现出来

gradient越大，离最低点越远这件事情在有多个参数的情况下是不一定成立的

如下图所示，w1和w2分别是loss function的两个参数，loss的值投影到该平面中以颜色深度表示大小，分别在w2和w1处垂直切一刀(这样就只有另一个参数的gradient会变化)，对应的情况为右边的两条曲线，可以看出，比起a点，c点距离最低点更近，但是它的gradient却越大

实际上，对于一个二次函数$y=a{x}^2+bx+c$来说，最小值点的$x=-\frac{b}{2a}$，而对于任意一点$x_0$，它迈出最好的步伐长度是$|x_0+\frac{b}{2a}|=|\frac{2a{x}_0+b}{2a}|$(这样就一步迈到最小值点了)，联系该函数的一阶和二阶导数$y^{\prime }=2ax+b$、$y^{″}=2a$，可以发现the best step is $|\frac{y^{\prime }}{y^{″}}|$，也就是说他不仅跟一阶导数(gradient)有关，还跟二阶导师有关，因此我们可以通过这种方法重新比较上面的a和c点，就可以得到比较正确的答案

再来回顾Adagrad的表达式：$w^{t+1}=w^t-\frac{\eta }{\sum _{i=0}^t(g^i{)}^2}\cdot g^t$

$g^t$就是一次微分，而分母中的$\sum _{i=0}^t(g^i{)}^2$反映了二次微分的大小，所以Adagrad想要做的事情就是，在不增加任何额外运算的前提下，想办法去估测二次微分的值

Stochastic Gradicent Descent

随机梯度下降的方法可以让训练更快速，传统的gradient descent的思路是看完所有的样本点之后再构建loss function，然后去update参数；而stochastic gradient descent的做法是，看到一个样本点就update一次，因此它的loss function不是所有样本点的error平方和，而是这个随机样本点的error平方

stochastic gradient descent与传统gradient descent的效果对比如下：

Feature Scaling

概念介绍

特征缩放，当多个特征的分布范围很不一样时，最好将这些不同feature的范围缩放成一样

原理解释

$y=b+w_1{x}_1+w_2{x}_2$，假设x1的值都是很小的，比如1,2...；x2的值都是很大的，比如100,200...

此时去画出loss的error surface，如果对w1和w2都做一个同样的变动$\mathrm{\Delta }w$，那么w1的变化对y的影响是比较小的，而w2的变化对y的影响是比较大的

左边的error surface表示，w1对y的影响比较小，所以w1对loss是有比较小的偏微分的，因此在w1的方向上图像是比较平滑的；w2对y的影响比较大，所以w2对loss的影响比较大，因此在w2的方向上图像是比较sharp的

如果x1和x2的值，它们的scale是接近的，那么w1和w2对loss就会有差不多的影响力，loss的图像接近于圆形，那这样做对gradient descent有什么好处呢？

对gradient decent的帮助

之前我们做的demo已经表明了，对于这种长椭圆形的error surface，如果不使用Adagrad之类的方法，是很难搞定它的，因为在像w1和w2这样不同的参数方向上，会需要不同的learning rate，用相同的lr很难达到最低点

如果有scale的话，loss在参数w1、w2平面上的投影就是一个正圆形，update参数会比较容易

而且gradient descent的每次update并不都是向着最低点走的，每次update的方向是顺着等高线的方向(梯度gradient下降的方向)，而不是径直走向最低点；但是当经过对input的scale使loss的投影是一个正圆的话，不管在这个区域的哪一个点，它都会向着圆心走。因此feature scaling对参数update的效率是有帮助的

如何做feature scaling

假设有R个example(上标i表示第i个样本点)，$x^1,x^2,x^3,...,x^r,...x^R$，每一笔example，它里面都有一组feature(下标j表示该样本点的第j个特征)

对每一个demension i，都去算出它的平均值mean=$m_i$，以及标准差standard deviation=${\sigma }_i$

对第r个example的第i个component，减掉均值，除以标准差，即$x_i^r=\frac{x_i^r-m_i}{{\sigma }_i}$

说了那么多，实际上就是==将每一个参数都归一化成标准正态分布，即$f(x_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x_i^2}{2}}$==，其中$x_i$表示第i个参数

Gradient Descent的理论基础

Taylor Series

泰勒表达式：$h(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{h^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k=h(x_0)+h^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{h^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...$

When x is close to $x_0$ : $h(x)\approx h(x_0)+h^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

同理，对于二元函数，when x and y is close to $x_0$ and $y_0$：

$h(x,y)\approx h(x_0,y_0)+\frac{\partial h(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial h(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0)$

从泰勒展开式推导出gradient descent

对于loss图像上的某一个点(a,b)，如果我们想要找这个点附近loss最小的点，就可以用泰勒展开的思想

假设用一个red circle限定点的范围，这个圆足够小以满足泰勒展开的精度，那么此时我们的loss function就可以化简为：

$L(\theta )\approx L(a,b)+\frac{\partial L(a,b)}{\partial {\theta }_1}({\theta }_1-a)+\frac{\partial L(a,b)}{\partial {\theta }_2}({\theta }_2-b)$

令$s=L(a,b)$，$u=\frac{\partial L(a,b)}{\partial {\theta }_1}$，$v=\frac{\partial L(a,b)}{\partial {\theta }_2}$

则$L(\theta )\approx s+u\cdot ({\theta }_1-a)+v\cdot ({\theta }_2-b)$

假定red circle的半径为d，则有限制条件：$({\theta }_1-a{)}^2+({\theta }_2-b{)}^2\le d^2$

此时去求$L(\theta {)}_{min}$，这里有个小技巧，把$L(\theta )$转化为两个向量的乘积：$u\cdot ({\theta }_1-a)+v\cdot ({\theta }_2-b)=(u,v)\cdot ({\theta }_1-a,{\theta }_2-b)=(u,v)\cdot (\mathrm{\Delta }{\theta }_1,\mathrm{\Delta }{\theta }_2)$

观察图形可知，当向量$({\theta }_1-a,{\theta }_2-b)$与向量$(u,v)$反向，且刚好到达red circle的边缘时(用$\eta$去控制向量的长度)，$L(\theta )$最小

$({\theta }_1-a,{\theta }_2-b)$实际上就是$(\mathrm{\Delta }{\theta }_1,\mathrm{\Delta }{\theta }_2)$，于是$L(\theta )$局部最小值对应的参数为中心点减去gradient的加权

$$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{\theta }_1\\ \mathrm{\Delta }{\theta }_2\end{array}\right]=-\eta \left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=>\left[\begin{array}{c}{\theta }_1\\ {\theta }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]-\eta \left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]-\eta \left[\begin{array}{c}\frac{\partial L(a,b)}{\partial {\theta }_1}\\ \frac{\partial L(a,b)}{\partial {\theta }_2}\end{array}\right]$$

这就是gradient descent在数学上的推导，注意它的重要前提是，给定的那个红色圈圈的范围要足够小，这样泰勒展开给我们的近似才会更精确，而$\eta$的值是与圆的半径成正比的，因此理论上learning rate要无穷小才能够保证每次gradient descent在update参数之后的loss会越来越小，于是当learning rate没有设置好，泰勒近似不成立，就有可能使gradient descent过程中的loss没有越来越小

当然泰勒展开可以使用二阶、三阶乃至更高阶的展开，但这样会使得运算量大大增加，反而降低了运行效率

Gradient Descent的限制

之前已经讨论过，gradient descent有一个问题是它会停在local minima的地方就停止update了

事实上还有一个问题是，微分值是0的地方并不是只有local minima，settle point的微分值也是0

以上都是理论上的探讨，到了实践的时候，其实当gradient的值接近于0的时候，我们就已经把它停下来了，但是微分值很小，不见得就是很接近local minima，也有可能像下图一样在一个高原的地方

综上，==gradient descent的限制是，它在gradient即微分值接近于0的地方就会停下来，而这个地方不一定是global minima，它可能是local minima，可能是saddle point鞍点，甚至可能是一个loss很高的plateau平缓高原==